()( )
(
)
cos x sin x cos 2x sin x 0 * *⇔+ −=
()
()
2
cos x sin x 1 2sin x sin x 0⇔+ − −
=
2
cos x sin x
2sin x sinx 1 0
=−
⎡
⇔
⎢
+−=
⎣
tgx 1
sin x 1
1
sin x
2
⎡
⎢
=−
⎢
⇔=
⎢
⎢
=
⎢
⎣
−
()
xk
4
xk2 k
2
5
xk2x k2
66
π
⎡
=− + π
⎢
⎢
π
⎢
⇔=−+π ∈
⎢
⎢
ππ
⎢
=+ π∨= + π
⎢
⎣
Z
Cách khác: (**) tgx 1 cos2x sin x cos x
2
π
⎛⎞
⇔=−∨ = = −
⎜⎟
⎝⎠
(
)
3
4 cos x 3 2 sin 2x 8cos x *+= Bài 63: Giải phương trình:
Ta có: (*)
3
4 cos x 6 2 sin x cos x 8cos x 0
⇔
+− =
()
2
cos x 2cos x 3 2 sin x 4 0⇔+−
=
(
)
2
cos x 2 1 sin x 3 2 sin x 4 0
⎡⎤
⇔−+−
⎣⎦
=
2
cos x 0 2sin x 3 2 sin x 2 0⇔=∨ − +=
()
cos x 0
2
sin x
2
sin x 2 vô nghiệm
=
⎡
⎢
⎢
⇔=
⎢
⎢
=
⎢
⎣
2
x k sin x sin
22
ππ
⇔=+π∨ = =
4
()
3
xkxk2x k2k
24 4
ππ π
⇔=+π∨=+π∨= +π∈
Z
Bài 64
: Giải phương trình:
()
cos 2x cos 2x 4 sin x 2 2 1 sin x *
44
ππ
⎛⎞⎛⎞
++ −+ =+ −
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
()
(*)
()
2cos2x.cos 4sin x 2 2 1 sin x
4
π
⇔+=+−
(
)
(
)
()
2
2
21 2sin x 4 2sinx 2 2 0
2 2 sin x 4 2 sin x 2 0
⇔− ++ −−=
⇔−++=
()
⇔−++=
2
2sin x 2 2 1 sinx 2 0
()
⎡
⎢
si
=
⇔
⎢
=
⎢
⎣
n x 2 loại
1
sin x
2
ππ
⇔=+ π = + π∈
5
xk2hayx k2,k
66
Bài 65
(
)
()
+
2
g x 2 2 =+
2
3 cot sin x 2 3 2 cos x *
: Giải phương trình :
Điều kiện:
(*)
sin x 0 cos x 1≠⇔ ≠±
Chia hai vế (*) cho
2
sin x ta được:
()
2
42
cos x cos x
322232
sin x sin x
⇔+=+
và
sin x 0
≠
2
cos x
t
sin x
=
Đặt ta được phương trình:
()
2
3t 2 t 2−+ +2 3 2 0
2
t2t
3
=
⇔= ∨=
* Với
2
t
3
=
ta có:
2
cos x 2
3
sin x
=
()
()
(
co nhận 1
⎢
⎣
)
2
2
3cos x 2 1 cos x
2cos x 3cosx 2 0
cos x 2 loại
1
s x do cos x
2
⇔=−
⇔+−=
⎡
=−
⎢
⇔
⎢
=≠±
()
xk2k
3
π
⇔=±+ π∈
Z
* Với
t2= ta có:
=
2
cos x
2
sin x
()
()
()
⇔=−
⇔+−=
⎡
=−
⎢
⇔
⎢
=
≠±
⎢
⎣
π
⇔=±+ π∈xk2,k
2
2
cos x 2 1 cos x
2 cos x cos x 2 0
cos x 2 loại
2
cos x nhận do cos x 1
2
4
Bài 66
: Giải phương trình:
()
+−−
=
22
4sin 2x 6sin x 9 3cos2x
0*
cos x
Điều kiện:
Lúc đó:
(*) =
≠cos x 0
22
4sin 2x 6sin x 9 3cos2x 0⇔+−−
()
()
2
2
4 1 cos 2x 3 1 cos2x 9 3cos 2x 0
4cos 2x 6cos2x 2 0
1
cos2x 1 cos2x
2
⇔− +− −− =
⇔++=
⇔=−∨=−
22
1
2cos x 1 1 2cos x 1
2
⇔ − =− ∨ − =−
()
()
()
cos x 0 loại diều kiện
1
cos x nhận do cos x 0
2
2
xk2x
3
⇔=±+ π∨ k2kZ
3
⎡
=
⎢
⇔
⎢
=± ≠
ππ
=± + π ∈
⎢
⎣
()
12
fx sinx sin3x sin5x
35
=+ +
Bài 67: Cho
()
f' x 0
=
Giải phương trình:
Ta có:
=
()
f' x 0=
()( )
()()
32
cos x cos3x 2cos5x 0
cos x cos5x cos 3x cos5x 0
2cos3xcos2x 2cos4xcosx 0
4 cos x 3cos x cos2x 2cos 2x 1 cos x 0
⇔+ + =
⇔+++=
⇔+=
⇔− + −
()
()
⎡⎤
⇔−+−
⎣⎦
⎡
⎡⎤
+− + −=
⎣⎦
⇔
⎢
=
⎢
⎣
⎡
−−=
⇔
⎢
=
⎣
±
⇔= ∨=
22
2
2
4 cos x 3 cos 2x 2 cos 2x 1 cos x 0
2 1 cos 2x 3 cos 2x 2 cos 2x 1 0
cos x 0
4cos 2x cos2x 1 0
cos x 0
117
cos 2x cos x 0
8
=
()
117 117
cos2x cos cos2x cos cosx 0
8
8
xkxkxkkZ
222
+−
⇔= =α∨= =β∨=
αβπ
⇔=±+π∨=±+π∨=+π∈
()
88 2
17
sin x cos x cos 2x *
16
+=
Bài 68: Giải phương trình:
Ta có:
()
()
2
88 44 44
2
2
22 22 4
2
24
24
sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x
1
sin x cos x 2sin x cos x sin 2x
8
11
1sin2x sin2x
28
1
1sin2x sin2x
8
+= + −
⎡⎤
=+− −
⎢⎥
⎣⎦
⎛⎞
=− −
⎜⎟
⎝⎠
=− +
Do đó:
()
()
()
()
()()
⎛⎞
⇔− + =−
⎜⎟
⎝⎠
⇔+−=
⎡
=−
⎢
⇔⇔−
⎢
=
⎢
=
π
⇔=⇔=+ ∈
24 2
42
2
2
1
* 16 1 sin 2x sin 2x 17 1 sin 2x
8
2sin 2x sin 2x 1 0
sin 2x 1 loại
11
1cos4x
1
22
sin 2x
cos 4x 0 x 2k 1 , k Z
8
Bài 69
⎣
2
()
3
5x x
sin 5cos x.sin *
22
=
: Giải phương trình:
Nhận xét thấy:
x
cos 0 x k2 cos x 1
2
=⇔=π+ π⇔ =−
Thay vào (*) ta được:
π
⎛⎞ ⎛
+π=− +π
⎜⎟ ⎜
⎝⎠ ⎝
5
sin 5k 5.sin k
22
π
⎞
⎟
⎠
, không thỏa k
∀
x
cos
2
Do không là nghiệm của (*) nên:
()
⇔=
2
5x x x x
* sin .cos 5 cos x.sin cos
22 22
và
x
cos 0
2
≠
()
3
15
sin 3x sin 2x cos x.sin x
22
⇔+=
và
≠
x
cos 0
và
2
33
3sin x 4 sin x 2sin x cos x 5cos x.sin x⇔− + =
≠
x
cos 0
2
23
x
cos 0
2
34sinx2cosx 5cosxsinx 0
⎧
≠
⎪
⇔
⎨
⎪
−+=∨
⎩
=
32
x
cos 0
2
x
5cos x 4cos x 2cosx 1 0 sin 0
2
⎧
≠
⎪
⎪
⇔
⎨
⎪
−−+=∨
⎪
⎩
=
()
()
2
cos x 1
x
cos x 1 5cos x cos x 1 0 sin 0
2
≠−
⎧
⎪
⇔
⎨
−
+−=∨ =
⎪
⎩
≠−
⎧
⎪
⎡
⎪
⎢
=
⎪
⎢
⎪
⇔
−+
⎨
⎢
=
=α
⎪
⎢
⎪
⎢
−−
⎪
⎢
=
=β
⎣
⎩
cos x 1
cos x 1
121
cos x cos
10
1
cos
10
⎪
⎢
12
cos x
(
)
⇔= π =±α+ π =±β+ π ∈xk2hayx k2hayx k2,kZ
(
)
(
)
2
sin 2x cot gx tg2x 4 cos x *+= Bài 70: Giải phương trình:
iều kiện: và
cos 2x 1
Đ
0
cos2x 0≠ sin x 0 cos 2x
≠
⇔≠∧≠
Ta có:
cos x sin 2x
cot gx tg2x
sin x cos 2x
+= +
cos2x cos x sin 2xsin x
sin x cos 2x
cos x
sin x cos 2x
+
=
=
2
cos x
2sinx.cosx 4cos x
sin x cos 2x
⎛⎞
⇔=
⎜⎟
⎝⎠
Lúc đó: (*)
() ()
()
()
⇔=
⇔+= +
⇔+= =
⇔=−∨= ≠ ≠
2
2
cos x
2cos x
cos 2x
cos2x 1 2cos2x cos2x 1
cos 2x 1 0 hay 1 2 cos 2x
1
cos 2x 1 cos 2x nhận do cos 2x 0 và cos 2x 1
2
π
⇔=π+π∨=±+π∈
ππ
⇔=+π∨=±+π∈
2x k2 2x k2 , k
3
xkx k,k
Bài 71
26
()
2
6x 8x
2cos 1 3cos *
55
+=
: Giải phương trình:
⎛⎞⎛ ⎞
⇔
++=
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
2
12x 4x
1 cos 1 3 2 cos 1
55
Ta có : (*)
−
⎟
⎠
⎛⎞
⇔
+−=
⎜⎟
⎝⎠
32
4x 4x 4x
2 4 cos 3cos 3 2 cos 1
55 5
−
Đặt
()
4
t cos x điều kiện t 1
5
=≤
Ta có phương trình :
()
()
()
32
32
2
4t 3t 2 6t 3
4t⇔ 6t 3t 5 0
t 1 4t 2t 5 0
121 121
t1t t lọai
44
−+= −
−−+=
⇔− −−=
−+
⇔=∨= ∨=
Vậy
()
•=⇔=π
π
⇔= ∈
4x 4x
cos 1 2k
55
5k
xk
2
Z
()
()
4x 1 21
cos cos với 0 2
54
4x
2
5
55
x,Z
42
−
•= =α<α<π
⇔=±α+π
απ
⇔=± + ∈
l
l
l
Bài 72
()
3
tg x tgx 1 *
4
π
⎛⎞
−=−
⎜⎟
⎝⎠
: Giải phương trình
tx x t
44
π
π
=− ⇔= +
Đặt
3
1tgt
tg t tg t 1 1 với cost 0 tgt 1
41tgt
π+
⎛⎞
=+−= − ≠∧
⎜⎟
−
⎝⎠
(*) thành :
≠
⇔=
−
3
2tgt
tg t
1tgt
()
)
()
()
(
34
32
2
tg t tg t 2tgt
tgt tg t tg t 2 0
t 1 tg t 2tgt 2 0
tgt 0 tgt 1 nhận so đi àu kiện
tk t k,k
4
⇔−=
⇔−+=
+−+=
⇔=∨=−
π
⇔=π∨=− +π∈
¢
Vậy (*)
tgt tg
⇔
e
xkhayx
4
⇔=+π =k,k
π
π∈¢
Bài 73
44
4
sin 2x cos 2x
cos 4x (*)
tg x tg x
44
+
=
ππ
⎛⎞⎛⎞
−+
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
: Giải phương trình
Điều kiện
sin x cos x 0 sin 2x 0
44 2
sin
ππ
⎛
⎪
⎜
x cos x 0 sin 2x 0
44 2
⎧⎧
ππ π
⎛⎞⎛⎞ ⎛ ⎞
−−≠ −≠
⎜⎟⎜⎟ ⎜ ⎟
⎪⎪
⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎝ ⎠
⎨⎨
π
⎞⎛⎞ ⎛ ⎞
⎪
++≠ +≠
⎟⎜⎟ ⎜ ⎟
⎪⎪
⎝⎠⎝⎠ ⎝ ⎠
⎩⎩
±
Do :
⇔
cos2x 0 sin 2x 1⇔≠⇔≠
1 tgx 1 tgx
tg x tg x . 1
4 4 1 tgx 1 tgx
ππ−+
⎛⎞⎛⎞
−+=
⎜⎟⎜⎟
+−
⎝⎠⎝⎠
=
Khi cos2x 0 thì :
≠
()
()
()
()
44 4
22 4
24
24
42
2
2
2
* sin 2x cos 2x cos 4x
12sin2xcos2x cos4x
1
1sin4xcos4x
2
1
11cos4xcos4x
2
2cos 4x cos 4x 1 0
cos 4x 1
1sin4x 1
1
cos 4x vô nghiệm
2
sin 4x 0
2sin2xcos2x 0
sin 2x 0 do cos2x 0
2x k ,k x k
⇔+ =
⇔− =
⇔− =
⇔− − =
⇔−−=
⎡
=
⎢
⇔⇔
⎢
=−
⎢
⎣
⇔=
⇔=
⇔= ≠
⇔=π∈⇔=¢
−=
,k
2
π
∈¢
()
42
12
48 1 cot g2x cot gx 0 *
cos x sin x
−− + =
()
Bài 74 :Giải phương trình:
Điều kiện :
Ta có :
sin 2x 0≠
()
22
cos 2x cos x
1 cot g2x cot gx 1 .
sin 2x sin x
sin 2xsin x cos2x cosx
sin xsin2x
cos x 1
do cosx 0
2sin xcosx 2sin x
+=+
+
=
== ≠
Lúc đó (*)
44
11
48 0
cos x sin x
⇔
−−
=
4
44 44
11sinxcos
48
cos x sin x sin x cos x
+
⇔= + =
4
x
44 4 4
422
42
48sinxcosx sinx cosx
3sin 2x 1 2sin xcos x
1
3sin 2x sin 2x 1 0
2
⇔=+
⇔=−
⇔+−=
()
()
2
2
2
sin x lọai
3
1
sin x nhận do 0
2
⎡
=−
⎢
⇔
⎢
⎢
=≠
⎢
⎣
()
()
22
cos 4x 0
2
k
xkZ
84
⇔=
π
ππ
⇔=+ ∈
Bài 75
11
1cos4x
⇔− =
4x k
π
⇔=+
: Giải phương trình
()
()
8 8 10 10
5
sin x cos x 2 sin x cos x cos2x *
4
+= + +
Ta có : (*)
()( )
810 8 10
5
sin x 2sin x cos x 2 cos x cos2x
4
⇔− +− =
()( )
()
828 2
88
88
5
sin x 1 2sin x cos x 1 2 cos x cos2x
4
5
sin x.cos2x cos x cos2x cos2x
4
4 cos2x sin x cos x 5cos2x
⇔−−−+ =
⇔−=
⇔−=
()
()()
88
2
2
s2x 0 hay 4 sin x x 5
cos2x 0 hay 4 1 sin 2x 5
2
cos2x 0 hay 2sin 2x 1(Vô nghiệm)
= =
= − =
⎜⎟
⎝⎠
⇔=− =
co cos⇔ −
4444
cos2x 0 hay 4 sin x cos x sin x cos x 5
1
⇔= − + =
⎛⎞
⇔
2x k ,k
π
⇔=+π∈
¢
2
k
x,k
42
ππ
⇔=+ ∈¢
()
88
4sinx cosx 5
−
=
Cách khác: Ta có vô nghiệm
Vì
()
88
sin x cos x 1, x
−
≤∀
nên
(
)
88
4sinx cosx 4 5, x
−
≤<∀
Ghi chú : Khi gặp phương trình lượng giác dạng R(tgx, cotgx, sin2x, cos2x, tg2x)
với R hàm hữu tỷ thì đặt t = tgx
Lúc đó
2
22
2t 2t 1 t
tg2x ,sin2x ,cos2x
1t 1t 1t
2
−
===
−
++
Bài 76 : (Để thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2003)
Giải phương trình
()
−= + −
+
2
cos 2x 1
cot gx 1 sin x sin 2x *
1tgx 2
Điều kiện :
−
Đặt t = tgx thì (*) thành :
sin 2x 0 và tgx 1≠≠
2
2
2
22
1t
111t12t
1t
11.
t1t21t21t
−
⎡⎤
−
+
−= + − −
⎢⎥
+++
⎣⎦
()
()
()
()
()
()
()
()
2
222
2
22
2
2
2
2
2t t
dot1
t 2 t 1t
t
t1t1t
1t1t 1tt
t 1 nhận do t 1
1t 0
1t 1tt
2t t 1 0 vô nghiệm
− ≠−
+
+
⇔− + =−
=≠−⎡
−=
⎡
⇔⇔
⎢
⎢
+=−
−+=
⎢
⎣
⎣
Vậy (*)
1t 1t 1
.
−−
⇔= +
t 1 1
++
2
1
1t t 2t1
−
−−+
⇔= =
+
⇔
()
tgx 1 x k nhận do sin 2x 1 0
4
π
=⇔ = +π =≠
Bài 77
(
)
+=sin 2x 2tgx 3 *
: Giải phương trình:
Điều kiện :
ặt t = tgx thì (*) thành :
cos x 0≠
Đ
2
2t
2t 3+=
1t+
)
()
()
()
()
(
()
⇔+ − + =
+−=
− −+ =
−+ =
⎣
π
⇔=⇔=+π∈
2
2
2t 2t 3 1 t 0
4t 3
12t t3 0
2t t 3 0 vô nghiệm
⇔−
32
2t 3t 0
⇔t
=
⎡
⇔
⎢
2
t1
V
ậy (*) tgx 1 x k k Z
4
Bài 78 : Giải phương trình
()
2
cot gx tgx 4 sin 2x *
sin 2x
−+ =
sin 2x 0≠
Điều kiện :
Đặt
2
2t
ttgxthì:sin2x dosin2x0nênt0
1t
== ≠
+
≠
(*) thành :
2
2
18t1t1
tt
t t1 tt
+
−+ = = +
+
()
()
⇔=
+
⇔= ≠
+
⇔
=⇔=± ≠
π
⎛⎞
⇔=±
⎜⎟
⎝⎠
π
⇔=±+π ∈
2
2
4
1dot 0
1t
t 3 t 3 nhận do t 0
Vậy (*) tgx tg
3
xk,k
3
Bài 79
2
8t
2t
1t
: Giải phương trình
()
(
)
(
)
1tgx1sin2x 1tgx*−+ =+
Điều kiện :
Đặt = tgx thì (*) thành :
cos x 0≠
()
2
1t
⎜⎟
+
⎝⎠
2t
⎛
1t1 1t
⎞
−+ =+
()
()
2
2
1t 1t
1t
− =+
+
()()
22
2
t1
t1
t1
1t
1t 1t
1
1t
t1t0
+
⇔
=−
⎡
=−
⎡
+
⎢
⎢
1t
⎢
⇔⇔
−
−
=+
=
⎣
⎢
+
⎣
⇔=−∨=
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét