là thời điểm mọi hoạt động đó vừa xong cả, tức là phải lấy maximum của các tổng.
Chẳng hạn
E
7
= max {E
4
+ t
45
,E
5
+ t
57
} = max {16 + 7, 20 + 5} = 25,
E
8
= max {E
5
+ t
58
,E
6
+ t
68
} = max {20 + 0, 22 + 7} = 29
Tổng quát, công thức tính E
i
cho mọi trường hợp là :
E
i
= maxmax {E
j
+ t
ji
},
j
ở đây j là các nút ngay trước i, tức là có cung nối tới i. Các E
i
được ghi ở H.1.3 là số
đầu trong ngoặc ở mỗi nút.
Thời điểm muộn (latest time) của biến cố j là thời điểm muộn nhất mọi cung đi
vào biến cố j đều hồn thành mà không làm thay đổi thời điểm kết thúc dự án sớm
nhất có thể, ký hiệu là L
j
. Đối lại với E
j
, các L
j
được tính theo hướng lùi (backward
pass), tức là đi từ nút kết thúc. Theo định nghĩa, ở nút kết thúc thì E
n
= L
n
, ở thí dụ
H.1.1 là E
13
= L
13
= 44. nếu ở biến cố chỉ có một cung ra, tức là một hoạt động được
bắt đầu thì, thời điểm muộn là :
L
j
=L
i
- t
ji
,
Tức là thời điểm muộn của nút ngay sau nó trừ đi thời gian thực hiện hoạt động nối
hai nút. Các biến cố 12, 11, 10, 8, 7, 6, 3, 2 và 1 ở H.1.1 là trường hợp này. Nếu có
nhiều cung ra khỏi
biến cố, thì theo
định nghĩa ta có :
L
j
=
i
}t-{L min
jii
Ở đây min theo các
nút i ngay sau j và t
ji
là thời gian thực
hiện hoạt động nối
(j, i). Các nút 9, 5, 4
là ở trường hợp này,
chẳng hạn :
L
9
= min {L
11
– t
9 11
,
L
12
– t
9 12
} = min (38
– 4, 38 - 5) = 33
Hãy chú ý sự ‘’đối
xứng ‘‘ của quá
trình tính E
i
và L
j
.
Các L
j
được ghi ở
số thứ 2 trong
ngoặc ở mỗi nút
trong H.1.3.
II.2. Tính thời
gian dự trữ.
Trong thời gian dự
trữ (slack hoặc
float) của một biến
có là hiệu thời điểm
Trang 5
1
2
3
4
5
7
9
1
1
1
2
6
8
1
0
1
3
1
2
4
4
4
4
4
4
4
(44, 44)
6
0
2
(38, 42)
(29, 33)
(22, 26)
(0, 0)
(2, 2)
(6, 6)
(16, 16)
(20, 20)
(25, 25)
(33, 33)
1
4
5
(38, 38)
2
4
10
4
5
8
muộn và thời điểm sớm của nó : d
i
= L
i
– E
i
. Thời gian dự trữ (slack hoặc float) của
hoạt động được chia làm hai loại. Thời gian dự trữ chung (total slack hoặc total
float) của hoạt động (i, j) là :
TF
ij
= L
j
– E
i
– t
ij
.
TF
ij
chỉ là thời gian có thể trì hỗn của hoạt động (i,j) mà không ảnh hưởng đến thời
điểm kết thúc cả dự án. Vì nó bằng thời gian tối đa dành cho hoạt động (i, j) là L
j
-
E
i
trừ đi thời gian để
thực hiện là t
ij
. Thời gian dự trữ độc lập (free float hoặc free slack), ký hiệu là FF
ij
,
cũng là ký hiệu thời gian dành cho (i, j) và thời gian thực hiện là t
ij
, nhưng với giả
thiết là mọi hoạt động đều bắt đầu sớm có thể, vậy :
FF
ij
= E
j
– E
i
– t
ij
.
Trên sơ đồ mạng lưới thì d
i
là hiệu hai số trong ngoặc ở nút i, thường được ghi bằng
số trong ô vuông cạnh nút. Thời gian dự trữ chung của hoạt động TF
ij
được ghi
trong ô vuông cạnh ở mỗi cung. Còn thời gian dự trữ độc lập của hoạt động FF
ij
ít
quan trọng hơn, thường không ghi, xem H.1.3.
II.3. Đường găng. (đường tới hạn)
Các hoạt động có thời gian dự trữ chung bằng 0 cần được chú ý đặc biệt vì trì
hỗn nó sẽ ảnh hưởng đến thời gian kết thúc dự án. Từ đó có :
Định nghĩa II.3.1. Đường găng hoặc đường tới hạn (critical path) là một đường
đi từ nút khởi công đến nút kết thúc mà mọi hoạt động trên đường đều có thời gian
dự trữ chung bằng 0. (Chẳng hạn trên H.1.3 có một đường găng là 1 –> 2 –> 3 –> 4
–>5 –> 7 –> 9 –> 12 –> 13 ) hoạt động (i, j có TF
ij
= 0 được gọi là hoạt động găng
(critital activity). Biến cố i có d
i
=0 được gọi là biến cố găng (critical event).
Một số tính chất quan trọng của đường găng là như sau.
1. Mỗi dự án đều có ít nhất một đường găng.
2. Tất cả các hoạt động (i, j) có TF
ij
= 0, tức là mọi hoạt động găng đều phải
nằm trên đường găng.
3. Mọi biến cố găng, tức là biến cố i có d
i
= 0, đều phải nằm trên đường
găng. Biến có không găng không thể nằm trên đường găng.
4. Đường nối nút khởi công đến nút kết thúc mà mọi biến cố trên đó đều
găng có thể không phải đường găng vì có thể có hoạt động không găng.
Chẳng hạn đường 1 –> 2 –> 3 –> 4 –> 7 –> 9 –> 12 –> 13 không găng
vì TF
47
= 2.
5. Đường găng là đường dài nhất trong các đường nối nút khởi công đến
nút kết thúc.
Điều 5 này là rõ từ định nghĩa vì ở nút khởi công và kết thúc hai thời điểm
sớm và muộn trùng nhau và thời gian hồn thành dự án chính là hiệu thời gian ở hai
nút (ở H.1.3 là 44 - 0). Đường găng là đường gồm các hoạt động không có dự trữ
nên tổng chiều dài, tức là thời gian thực hiện, là tồn bộ thời gian thực hiện dự án (ở
H.1.3 là 44), nên phải dài nhất. Trên H.1.3 đường găng được tô đậm.
Một thí dụ dự án có nhiều đường găng là sơ đồ ở H.1.3 nhưng với t
46
thay từ
6 thành 10. Khi đó thời gian dự trữ của các hoạt động (6, 8), (8, 10) và (10, 13) và
thời gian dự trữ của các biến cố 6, 8 và 10 đều thay từ 4 thành 0. Lúc này đường 1 –
> 2 –> 3 –> 4 –> 6 –> 8 –> 10 –> 13 là đường găng thứ hai.
Các chỉ tiêu thời gian của dự án ở H.1.3 được ghi vào bảng 1.1
Trang 6
Hình 1.3
Biến cố Thời điểm
sớm
Thời điểm
muộn
Thời gian
dự trữ
Hoạt động Thời gian dự
trữ chung
1 0 0 0 (1, 2) 0
2 2 2 0 (2, 3) 0
3 6 6 0 (3, 4) 0
4 16 16 0 (4, 5) 0
5 20 20 0 (4, 6) 4
6 22 26 4 (4, 7) 2
7 25 25 0 (5, 7) 0
8 29 33 4 (6, 8) 4
9 33 33 0 (7, 9) 0
10 38 42 4 (8, 10) 4
11 37 38 1 (9, 11) 1
12 38 38 0 (9, 12) 0
13 44 44 0 (10, 13) 4
(12, 13) 0
Bảng1.1. Chỉ tiêu thời gian xây nhà
Ngồi các chỉ tiêu chính nói trên, khi cần các thông tin chi tiết hơn để điều hành
dự án, người ta cũng đưa ra một số khái niệm về thời gian khác nữa như sau.
Thời điểm khởi công sớm (earliest start) của hoạt động (i, j) là thời sớm của nút
gốc: ES
ij
= E
i
.
Thời điểm hồn thành sớm (earliest completion) của hoạt động (i, j) là EC
ij
= E
i
+ t
ij
.
Thời điểm khởi công muộn (latest start) của hoạt động (i, j) là LS
ij
= L
j
- t
ij
.
Thời điểm hồn thành muộn (latest completion) của hoạt động (i, j) là LC
jj
= L
j
tức là thời điểm muộn của nút ngọn.
Nhận xét rằng EC
ij
≤ E
j
, LS
ij
≥ L
i
. Thật vậy, ta có
E
j
=
k
max
{E
k
+ t
kj
} ≥ E
i
+t
ij
= EC
ij
,
Vì i cũng là một trong các nút k ngay trước j. Bất đẳng thức thứ hai tương tự.
Thời gian dự trữ của một đường đi (total float of a path) P từ nút khởi công đến
nút kết thúc, ký hiệu TF
p
, là thời gian có thể kéo dài thêm các hoạt động trên đường
này mà không ảnh hưởng đến thời điểm hồn thành công trình, tức là
TP =
∑ ∑
−=−
PGP
ij
G
ij
TTtt
,
ở đây
G
G
ij
Tt
=
∑
là độ dài đường găng và
∑
≡
TPt
P
ij
là độ dài đường P, là tổng thời gian
thực hiện hoạt động trên đường P.
Hệ số găng (critital coefficient) biểu thị mức độ căng thẳng về thời gian của
một đường P nối nút khởi công và kết thúc, không phải đường găng G, được định
nghĩa là
PGG
PGP
P
TT
TT
K
−
−
=
:
,
ở đây T
PG
là độ dài quãng đường (tức là một phần của đường) mà P trùng với G. Rõ
ràng O < K
P
< 1 và K
P
càng gần 1 thì thời hạn thực hiện các hoạt động không găng
trong P càng chặt chẽ.
Trang 7
Hai định nghĩa trên đây của đường đi có thể mở rộng cho đường P có nút đầu
và cuối trùng với nút trong đường găng, không cần là nút khởi công và kết thúc của
cả dự án.
Thí dụ II.1. Ở dự án trên H.1.3, đường găng dược tô đậm. Thời điểm hồn thành
sớm EC
68
= E
6
+ t
68
= 22 + 7 = 29 = E
8
, EC
10, 13
= 40 < E
13
= 44. Thời điểm khởi công
muộn LS
46
= L
6
– t
46
= 26 – 6 = 20 > L
4
= 16. Bây giờ giả sử P là đường đi 1 –> 2 –>
3 –> 4 –> 5 –> 6 –> 8 –> 10 –> 13 thì T
P
=
∑
P
ij
t
=40
Nên thời gian dự trữ của P là T
G
– T
P
= 44 – 40 = 40. Hệ số găng là
K
P
=
11
10
4
40
=
(không có quãng chung với đường găng). Gọi Q là đường 1 –> 2 –>
3 –> 4 –> 7 –> 9 –> 12 –> 13 thì T
Q
= 42, K
Q
=
11
10
9
7
3544
3542
<=
−
−
. Ta thấy mặc dù T
Q
> T
P
nhưng thời hạn thực hiện các hoạt động không găng trong P lại chặt chẽ hơn
hoạt động không găng (4, 7) duy nhất của Q. Nguyên nhân là (4, 7) là không găng
duy nhất, nên mọi sự nới lỏng của Q đều dồn cho hoạt động này.
Chú ý rằng các dữ liệu thời gian quan trọng nhất là các chỉ tiêu có trong bảng
1.1. Ở bảng này cũng cho thấy đường găng (đường gồm các hoạt động găng, tức là
có thời gian dự trữ chung bằng 0).
II.4. Biểu đồ thời gian
Một cách truyền thống, bên cạnh sơ dồ lưới bảng, để theo dõi điều hành thời
gian cho dự án là dùng biểu đồ thời gian (time chart). Ta hãy xét cách vẽ và sử dụng
biểu đồ thời gian qua một thí dụ.
Thí dụ II.2. Xét dự án ở H.1.4, và bảng 1.2 tương ứng. (chú ý là hoạt động giả
(4, 5) lại là hoạt động găng.)
H.1.4
Biến cố E
i
L
i
d
i
Hoạt
động
TF
ij
1
2
3
4
5
6
7
0
2
3
6
6
13
19
0
4
3
6
6
13
19
0
2
0
0
0
0
0
(1, 2)
(1, 3)
(2, 4)
(3, 4)
(3, 5)
(4, 5)
(4, 6)
(4, 7)
(5, 6)
(5, 7)
(6, 7)
2
0
2
0
1
0
4
11
0
8
0
Trang 8
1
2
3
4
5
6
7
Bảng 1.2
Biểu đồ thời gian cho H.1.5. Ở đây chỉ có ttrục hồnh là thời gian . Cao độ
không quan trọng. Ta biểu diễn các hoạt động găng phía trên. Độ dài (thời gian) là
cố định, chặt chẽ cho các hoạt động găng. Hoạt động giả (4, 5) có độ dài bằng 0 nên
biểu diễn bằng đoạn đứng.
Mỗi hoạt động không găng biểu diễn ở độ cao khác nhau để nhìn rõ vì các hoạt
động này có độ cơ động và được điều hành bằng biểu đồ thời gian.
2
2
3
2
5
Hình: 1.5
Biểu đồ được vẽ từ các E
i
và L
i
ở Bảng1.2 (hoạt động găng hay không găng thì
theo TF
ij
bằng 0 hay khác 0). Các số không có vòng chỉ thời gian thực hiện của hoạt
động. Chẳng hạn hoạt động (1, 2) thực hiện trong 2 đơn vị thời gian, được phép xê
dịch trong khoảng thời gian 4 đơn vị (từ 0 đến 4). Xét sâu hơn thì sự xê dịch có tự
do trong khoảng thời gian này không là phụ thuộc vào FF
ij
= TF
ij
. Nếu FF
ij
= TF
ij
thì
hoạt động (i, j) có thể cơ động tuỳ ý trong khoảng thời gian vẽ biểu đồ. Nếu FF
ij
<
TF
ij
thì hoạt động (i, j) chỉ được bắt đầu muộn hơn thời điểm khởi công sớm ES
ij
một khoảng thời gian không quá FF
ij
thì mới không ảnh hưởng đến các hoạt động
ngay sau nó (duy nhất) là
(2, 4) mới được xê dịch tuỳ ý trong khoảng thời gian 2 đến 6. Nếu (1, 2) thực hiện
lùi lại khoảng 1 đến 3 chẳng hạn, thì ảnh hưởng đến hoạt động (2, 4). Mặc dù có
FF
24
= TF
24
nhưng lúc này có chỉ còn được xê dịch thực hiện trong khoảng từ 3 đến
6.
III. Điều khiển nhân lực.
Các hoạt động không găng được phép xê dịch nhất định, nhất là khi FF
ij
= TF
ij
.
Có thể sắp đặt chúng đáp ứng các yêu cầu khác nữa. Ngồi thời gian ra, chẳng hạn
nhân lực, nguyên liệu, chi phí …Về mặt tốn học xử lý yêu cầu loại nào cũng vậy. Ở
đây ta nói theo ngôn ngữ nhân lực chẳng hạn.
Trang 9
1
1
3
5
4
2
2
3
4
5
4
4
5
6
6
7
7
7
0 2 3 4 6 10 13 16 19
Thí Dụ III.1. Giả sử nhân lực cho các hoạt động của dự án ở Thí Dụ II.2 đòi hỏi
như sau:
Hoạt động Số nhân công Hoạt động số nhân công
(1, 2) 0 (4, 6) 2
(1, 3) 5 (4, 7) 1
(2, 4) 0 (5, 6) 2
(3, 4) 7 (5, 7) 5
(3, 5) 3 (6, 7) 6
Chú ý rằng tại thời điểm hai hoạt động cùng tiến hành thì số nhân lực cần là
tổng hai số công nhân. Vì vậy cần phải sắp xếp khéo các hoạt động không găng để
đòi hỏi tổng nhân công của cả dự án ít (tạm coi là mỗi người biết làm mọi việc).
Việc sắp xếp tối ưu là phức tạp, đến nay ta sử dụng biểu đồ thời gian biểu diễn thêm
nhân lực để sắp xếp theo trực quan. H.1.6 (a) biểu diễn tổng công nhân cần ở mỗi
thời điểm nếu tất cả các hoạt động không găng xếp vào lúc sớm nhất có thể, còn
H.1.6 (b) là tương ứng khi xếp vào lúc muộn nhất có thể. Hai biểu đồ này nên vẽ
thẳng dưới H.1.5 nữa. Sắp đặt sớm nhất ở hình (a) cho thấy ở mỗi thời điểm dự án
cần nhiều nhất là 10 công nhân còn ở sắp đặt muộn nhất (b) là 12 công nhân. Ở hai
phương án này, số công nhân cần ở các thời điểm không đều. Theo trực quan ta
chỉnh lại từ (a) như sau: chuyển hoạt động (4, 6) đếân thời điểm muộn nhất có thể,
chuyển (4, 7) đến ngay sau khi (5, 7) kết thúc. Kết quả được vẽ lại ở biểu đồ H.1.7.
(chú ý là hoạt động (1, 2) và (2, 4) không cần công nhân nên không cần vẽ.).
(3, 5) (4, 7)
(4, 6)
(3, 4) (5, 7)
(1, 3) (6, 7)
(5, 6)
Trang 10
Số công nhân
2 5 6 7 8 10
Số nhân công
2 5 6 7 8 10 12
Thời gian
Thời gian
3 4 6 10 11 13 14 17 19
3 4 6 10 11 13 14 17 19
H .I.6 (a)
(4, 7)
(3, 5)
(3, 4) (5, 7)
(1, 3) (4, 6) (6, 7)
(5, 6)
H .I.6 (b)
Trang 11
1
1
3 4
5
6
7
4
6
7
1
75
5
3
4
1
2
2
4
Thời gian
Số công nhân
5 6 7 9 10
3 4 6 10 11 13 14 17 19
3 4 6 10 11 13 14 17 19
Thời Gian
Hình 1.7
IV. Hồn thành sớm dự án.
Trên đây đã xét thời điểm hồn thành dự án là cố định và xác định các đường
găng, phải thực hiện chặt chẽ để dự án hồn thành đúng thời gian qui định. Nếu
muốn giảm thời gian hồn thành dự án thì làm thế nào ? Ta cũng sử dụng đường
găng, nhưng phải dựa vào kỹ thuật và công nghệ, chứ không phải quản lý bằng tốn
học được nữa. Cụ thể là phải dùng công nghệ mới, tăng vật tư, công nhân để có
thời gian thực hiện các hoạt động ngắn hơn. Nhưng tập chung vào hoạt động nào ?
Rõ ràng là vào các hoạt động găng. Cụ thể là nếu ta quan tâm đến hạn chế chi phí
thì với (i, j) ∈ G, tìm số gia chi phí ∆C
ij
khi đạt được rút ngắn thời gian thực hiện
hoạt động là ∆t
ij
(tìm bằng thực tế công nghệ, không phải thuần tuý tốn học). Khi đó
sẽ chọn cách tăng chí phí để giảm thời gian sao cho đạt
ij
ij
t
C
∆
∆
min
. Giả sử cực tiểu
là
0
0
ij
ij
t
C
∆
∆
. Khi đó độ dài đường găng mới, tức là thời gian hồn thành dự án mới, là
∑
∆−=
,
0
~
ij
GG
tTT
ở đây tổng lấy trên mọi hoạt động găng.
V. Dự án có tính ngẫu nhiên.
Trong các mục trên ta đã coi thời gian thực hiện các hoạt động t
ij
là xác định
hồn tồn từ đầu, khi lập sơ đô mạng lưới. Do đó ta có mô hình tất định (detreministic
model). Trong thực tế, nhiều yếu tố bất định phải được tính đến, do đó thời gian
thực hiện hoạt động (i, j) là một biến ngẫu nhiên (random variable), mà ta chỉ xác
định được phân bố xác suất (probability distributtion) qua kinh nghiệm và sớ liệu
thống kê. Từ đó dẫn đêùn phải sử dụng mô hình ngẫu nhiên hoặc gọi khác là mô
hình xác suất (probabilistic model). Việc tính tốn các chỉ tiêu để điều hành dự án có
hai nhiệm vụ chính. Một là tính kỳ vọng (mean hoặc expected value) của các đại
lượng cần tính, chẳng hạn thời gian thực hiện hoạt động (activity time), thời gian
hồn thành dự án (project time), và phương sai (variance) của các đại lượng này. Hai
là tính xác suất của biến cố nào đó, chẳng hạn biến cố là dự án hồn thành trước thời
điểm T.
Thời gian thực hiện mỗi hoạt động, thường gọi tắt là thời gian hoạt động, trong
mô hình ngẫu nhiên thường được giả thiết là xác định được ba yêùu tố sau. Thời
gian lạc quan (optimistic time) ký hiệu là a, là thời gian cần để làm xong khi hoạt
động được thực hiện thuận lợi nhất. Thời gian này rất khó đạt được. Theo lý thuyết
Trang 12
thống kê, thì đây thực chất là cận dưới (lower bound) của phân bố xác suất. Thời
gian bi quan (pressimistic time), ký hiệu là b, là thời gian cần để xong hoạt động khi
tiên hành gặp trục trặc nhất, tức là cận trên (upper bound) của phân bố xác suất.
Thời gian hợp lý nhất (most likely time), ký hiệu là m, là thời gian hiện thực nhất,
tức là có xác suất lớn nhất (đỉnh cao nhất của hàm mật độ). Ba lượng trên chưa đủ
để xác định phân bố xác suất của thời gian hoạt động. Do đó chưa đủ để xác định kỳ
vọng t
e
tức là giá trị trung bình theo xác suất, và phương sai δ
2
đặc trưng cho độ
lệch khỏi t
e
của thời gian hoạt động. Mô hình cần hai gải thiết phù hợp thực tế sau
đây.
Giả thiết 1. b - a, tức là độ dài khoảng mà thời gian hoạt động có thể lấy, bằng 6
lần độ lệch chuẩn (standard deviasion), tức là ta có phương sai
2
2
)(
6
1
−= ab
σ
. (1.1)
Điều này đúng cho nhiều biến ngẫu nhiên hay gặp.
Giả thiết 2. Phân bố xác suất của mỗi thời gian hoạt động đêøu là phân bố beta
(beta distribution).
Ta hãy nhắc lại vài kiến thức xác suất. Mỗi đại lương ngẫu nhiên x có hai hàm
quan trọng nhất. Hàm mật độ xác suất (probability density fuction) f(x), a ≤ x ≤ b,
và hàm phân bố tích luỹ (cumulative distribution function) F(X), gọi là hàm phân
bố. Ở đây giả thiết là x chỉ lấy giá trị trong [a, b] . Ta có các quan hệ sau
∫
∫
=≤=
=
X
a
b
a
dxxfXxPXF
dxxf
,)(}{)(
,1)(
∫
∫
−=
=
b
a
e
b
a
e
dxxfxx
dxxxfX
,)()(
,)(
22
σ
ở đây x
e
là kỳ vọng và σ
2
là phương sai của biến ngẫu nhiên x, P {…} là xác suất
của biến cố {…}. Mỗi một trong hàm mật độ hoặc hàm phân phối đặc trưng hồn tồn
cho biến ngẫu nhiên. Kỳ vọng và phương sai là các đại lượng quan trọng. Ta cũng
nói là hàm mật độ (hoặc hàm phân bố), xác định hồn tồn phân bố xác suất. Phân bố
beta (beta distribution) là một trong các phân bố xác suất phổ biến nhất, xác định bởi
hàm mật độ sau, nếu 0 ≤ x ≤ 1,
1111
)1(
),(
1
)1(
)()(
)(
)(
−−−−
−=−
Γ×Γ
+Γ
=
βαβα
βαβα
βα
xx
B
xxxf
, (1.2)
ở đây α, β là tham số, Γ(.) là hàm đặc biệt gamma và B(., .) là hàm đặc biệt beta,
được định nghĩa bằng tích phân phụ thuộc tham số
f(x) α < β α >β
∫
∫
−−
+∞
−−
−=
=Γ
1
0
11
0
1
)1(:),(
:)(
dtttB
et
t
βα
α
βα
α
α=1, β=2 α = β α=2, β=2
Trang 13
α=β=1
m1 x
Hình 1.8
Nếu y lấy giá trị trên [a, b] và có phân bố theo beta thì hàm mật độ nhân được
từ (4.2) bằng đổi biến y = a + (b - a)x. Chẳng hạn, hàm mật độ của phân bố beta có
dạng như H.1.8 với α ≥ 1, β ≥ 1 và a = 0, b = 1.
Phân bố chuẩn (normal distribution) là phân bố xác suất phổ biến nhất, định
nghĩa bởi hàm mật độ sau.
,,
2
1
)(
2
2
2
)(
2
+∞<<−∞=
−
−
xexf
x
σ
µ
πσ
ở đây tham số µ chính là kỳ vọng và σ
2
chính
là phương sai của biến ngẫu nhiên x có phân bố chuẩn. Khi đó biến
σ
µ
−
=
x
z
có
phân bó là phân bớ chuẩn với kỳ vọng 0, phương sai là 1. Hàm mật độ của phân bố
chuẩn có dạng ở H.1.9
Các biến ngẫu nhiên x
1
, …, x
n
được gọi là độc lập (independent) nếu.
P{x
1
≤ X
1
, …, x
n
≤ X
n
} = P{x
1
≤ X
n
},
Định nghĩa giới hạn trung tâm (centrer – limit thoerem) nói rằng với các điều
kiện khá nhẹ, tổng các biến ngẫu nhiên độc lập luôn có phân bố chuẩn (không phụ
thuộc vào phân bố của từng biến ngẫu nhiên).
Trở lại mô hình ngẫu nhiên điều hành dự án. Để tính kỳ vọng t
e
của thời gian
hoạt động, người ta giả thiết là điểm giữa
2
ba
+
chiếm tỷ trọng bằng nửa điểm hợp
lý nhất m. Khi đó
++=
)(
2
1
2
3
1
bamt
e
(II.3)
Trang 14
f(x)
µ
x
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét