Hinh12Chuong IIIBai 3Vi tri tuong doi cua cac duong thang va cac mat phang-02

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG
VÀ CÁC MẶT PHẲNG
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d
và d’ có phương trình lần lượt là:
0 0 0
:
x x y y z z
d
a b c
− − −
= =
' ' '
0 0 0
' :
' ' '
x x y y z z
d
a b c
− − −
= =
qua có vtcp:
( ; ; )u a b c=
r
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
qua có vtcp:
' ( '; '; ')u a b c=
ur
' ' ' '
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
Giữa d và d’ có thể có
những vị trí tương đối
nào?

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG
VÀ CÁC MẶT PHẲNG
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
0 0 0
:
x x y y z z
d
a b c
− − −
= =
' ' '
0 0 0
' :
' ' '
x x y y z z
d
a b c
− − −
= =
Nếu d và d’ chéo nhau thì các vectơ
và có quan hệ gì?
u
r
0 0
'M M
uuuuuuur
'u
ur
u
r
'u
ur
d
d’
M
0
M’
0
+ d chéo d’ ⇔
0 0
, ']. ' 0[u u M M
≠
r ur uuuuuuuur

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG
VÀ CÁC MẶT PHẲNG
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
0 0 0
:
x x y y z z
d
a b c
− − −
= =
' ' '
0 0 0
' :
' ' '
x x y y z z
d
a b c
− − −
= =
Nếu d và d’ cắt nhau thì các vectơ
và có quan hệ gì?
u
r
0 0
'M M
uuuuuuur
'u
ur
+ d chéo d’ ⇔
0 0
, ']. ' 0[u u M M
≠
r ur uuuuuuuur
u
r
'u
ur
d
d’
M
0
M’
0
+ d cắt d’ ⇔ và a : b: c ≠ a’ : b’ : c’
0 0
, ']. ' 0[u u M M
=
r ur uuuuuuuur

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG
VÀ CÁC MẶT PHẲNG
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
0 0 0
:
x x y y z z
d
a b c
− − −
= =
' ' '
0 0 0
' :
' ' '
x x y y z z
d
a b c
− − −
= =
Nếu d và d’ song song thì các vectơ
và có quan hệ gì? Chúng có
quan hệ gì với vectơ ?
u
r
0 0
'M M
uuuuuuur
'u
ur
+ d chéo d’ ⇔
0 0
, ']. ' 0[u u M M
≠
r ur uuuuuuuur
d’
u
r
'u
ur
d
M
0
M’
0
+ d cắt d’ ⇔ và a : b: c ≠ a’ : b’ : c’
0 0
, ']. ' 0[u u M M
=
r ur uuuuuuuur
+ d // d’ ⇔ a : b : c = a’ : b’ : c’ ≠ (x’
0
- x
0
) : (y’
0
- y
0
) : (z’
0
- z
0
)

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG
VÀ CÁC MẶT PHẲNG
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
0 0 0
:
x x y y z z
d
a b c
− − −
= =
' ' '
0 0 0
' :
' ' '
x x y y z z
d
a b c
− − −
= =
Nếu d và d’ trùng nhau thì các vectơ
và có quan hệ gì? Chúng có
quan hệ gì với vectơ ?
u
r
0 0
'M M
uuuuuuur
'u
ur
+ d chéo d’ ⇔
0 0
, ']. ' 0[u u M M
≠
r ur uuuuuuuur
d’
u
r
'u
ur
d
M
0
M’
0
+ d cắt d’ ⇔ và a : b: c ≠ a’ : b’ : c’
0 0
, ']. ' 0[u u M M
=
r ur uuuuuuuur
+ d // d’ ⇔ a : b : c = a’ : b’ : c’ ≠ (x’
0
- x
0
) : (y’
0
- y
0
) : (z’
0
- z
0
)
+ d ≡ d’ ⇔ a : b : c = a’ : b’ : c’ = (x’
0
- x
0
) : (y’
0
- y
0
) : (z’
0
- z
0
)

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG
VÀ CÁC MẶT PHẲNG
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Ví dụ. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho
bởi các phương trình sau:
1 7 3 6 1 2
) : , ' :
2 1 4 3 2 1

x y z x y z
a d d
− − − − + +
= = = =
−
1 2 5 4
) : , ' :
2 2 1 2 3 0

x y z x y z
b d d
− − + −
= = = =
− −
2 1 7 2
) : , ' :
4 6 8 6 9 12

x y z x y z
c d d
− + − −
= = = =
− − −
1 2 3 7 6 5
) : , ' :
9 6 3 6 4 2

x y z x y z
d d d
− − − − − −
= = = =
0 0 0 0
(2;1;4), ' (3; 2;1), ' (5; 8; 5) , ']. ' 0[u u M M u u M M= = − = − − ⇒ =
r ur uuuuuuuur r ur uuuuuuuur
⇒ d và d’ cắt nhau
0 0 0 0
(2; 2;1), ' ( 2;3;0), ' ( 1; 7; 4) , ']. ' 26 0[u u M M u u M M= − = − = − − ⇒ = ≠
r ur uuuuuuuur r ur uuuuuuuur
⇒ d và d’ chéo nhau
0 0
' (5;2;1) 4 : 6 : 8 6 : 9 :12 5 : 2 :1M M = ⇒ − − = − ≠
uuuuuuuur
⇒ d // d’
0 0
' (6;4;2) 9 : 6 : 3 6 : 4 : 2 6 : 4 : 2M M = ⇒ = =
uuuuuuuur
⇒ d ≡ d’

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG
VÀ CÁC MẶT PHẲNG
2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d và
mặt phẳng (α) phương trình lần lượt là:
0 0 0
:
x x y y z z
d
a b c
− − −
= =
(α) : Ax + By + Cz + D = 0
qua có vtcp:
( ; ; )u a b c=
r
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
có vtpt
( ; ; )n A B C
=
r
Ta có:
.u n Aa Bb Cc= + +
r r

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG
VÀ CÁC MẶT PHẲNG
2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
0 0 0
:
x x y y z z
d
a b c
− − −
= =
(α) : Ax + By + Cz + D = 0
n
r
α
d
u
r
Nếu d cắt (α) thì tích:
bằng 0 hay khác 0?
.u n
r r
+ d cắt (α) ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ 0
Ta có:
.u n Aa Bb Cc= + +
r r

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG
VÀ CÁC MẶT PHẲNG
2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
0 0 0
:
x x y y z z
d
a b c
− − −
= =
(α) : Ax + By + Cz + D = 0
Nếu d // (α) thì tích: bằng 0
hay khác 0? Điểm M
0
và mp(α)
có mối quan hệ gì?
.u n
r r
+ d cắt (α) ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ 0
Ta có:
.u n Aa Bb Cc= + +
r r
n
r
α
d
u
r
M
0
+ d // (α) ⇔
0 0 0
0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
+ + =


+ + + ≠


VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG
VÀ CÁC MẶT PHẲNG
2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
0 0 0
:
x x y y z z
d
a b c
− − −
= =
(α) : Ax + By + Cz + D = 0
Nếu d ⊂ (α) thì tích: bằng 0
hay khác 0? Điểm M
0
và mp(α)
có mối quan hệ gì?
.u n
r r
+ d cắt (α) ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ 0
Ta có:
.u n Aa Bb Cc= + +
r r
n
r
α
d
u
r
M
0
+ d // (α) ⇔
0 0 0
0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
+ + =


+ + + ≠

+ d ⊂ (α) ⇔
0 0 0
0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
+ + =


+ + + =


VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG
VÀ CÁC MẶT PHẲNG
2. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
0 0 0
:
x x y y z z
d
a b c
− − −
= =
(α) : Ax + By + Cz + D = 0
+ d cắt (α) ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ 0
Ta có:
.u n Aa Bb Cc= + +
r r
d
n
r
α
u
r
+ d // (α) ⇔
0 0 0
0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
+ + =


+ + + ≠

+ d ⊂ (α) ⇔
0 0 0
0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
+ + =


+ + + =

Nếu d ⊥ (α) thì hai vectơ

và có mối quan hệ
gì?
u
r
n
r
+ d ⊥ (α) ⇔ a : b : c = A : B : C

Ví dụ. Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình:
1 1 3 1
: , ' :
2 1 1 1 2 1

x y z x y z
d d
− + − +
= = = =
− −
và mặt phẳng (α): x + 2y + z - 1 = 0
a) Xét vị trí tương đối giữa d và d’.
b) Chứng minh d và d’ cắt mặt phẳng (α). Viết phương trình
đường thẳng đi qua hai giao điểm đó.
Giải:
d qua điểm M
0
(1; -1; 0) và có vtcp
(2;1; 1)u = −
r
d’ qua điểm M’
0
(3; 0; -1) và có vtcp
' ( 1; 2;1)u = −
ur
0 0 0 0
, '] (3; 1;5) ' (2;1; 1) , ']. ' 0Cã: [ vµ [u u M M u u M M
= − = − ⇒ =
r ur uuuuuuuur r ur uuuuuuuur
mà 2 : 1 : -1 ≠ -1 : 2 : 1.
Vậy d và d’ cắt nhau.

Ví dụ. Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình:
1 1 3 1
: , ' :
2 1 1 1 2 1

x y z x y z
d d
− + − +
= = = =
− −
và mặt phẳng (α): x + 2y + z - 1 = 0
b) Chứng minh d và d’ cắt mặt phẳng (α). Viết phương trình
đường thẳng đi qua hai giao điểm đó.
Giải: b) mp(α) có vtpt là . Ta có:
(1; 2;1)n =
r
. 1.2 2.1 1.( 1) 3 0, . ' 1.( 1) 2.2 1.1 4 0 n u n u= + + − = ≠ = − + + = ≠
r r r ur
Vậy d và d’ cắt mp(α).
Toạ độ giao điểm M của d và (α) là nghiệm của hpt:
1 1
2 1 1
2 1 0
x y z
x y z
− +

= =

−


+ + − =

⇔
7 / 3
1 / 3
2 / 3
x
y
z
=


= −


= −

⇒ M(7/3; -1/3; -2/3).

Ví dụ. Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình:
1 1 3 1
: , ' :
2 1 1 1 2 1

x y z x y z
d d
− + − +
= = = =
− −
và mặt phẳng (α): x + 2y + z - 1 = 0
b) Chứng minh d và d’ cắt mặt phẳng (α). Viết phương trình
đường thẳng đi qua hai giao điểm đó.
Giải: Toạ độ giao điểm M của d và (α) là nghiệm của hpt:
1 1
2 1 1
2 1 0
x y z
x y z
− +

= =

−


+ + − =

⇔
7 / 3
1 / 3
2 / 3
x
y
z
=


= −


= −

⇒ M(7/3; -1/3; -2/3).
Toạ độ giao điểm N của d’ và (α) là nghiệm của hpt:
3 1
1 2 1
2 1 0
x y z
x y z
− +

= =

−


+ + − =

⇔
13 / 4
1 / 2
5 / 4
x
y
z
=


= −


= −

⇒ N(13/4; -1/2; -5/4).

Xem chi tiết: Hinh12Chuong IIIBai 3Vi tri tuong doi cua cac duong thang va cac mat phang-02