Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh
–
ð
à
L
ạt
80
ðặt
1
, 0
1
t t
x
= ≠
−
( )
2
2
3 2 1 2 2
B t t t
= − + = − + ≥
Dấu
" "
=
xảy ra khi
1
1 1 2
1
t x
x
= ⇔ = ⇔ =
−
Vậy
min 2
B
=
khi
2
x
=
2 2
1 1,
N x x x x x
= + + + − + ∈
ℝ
Bài toán này có rất nhiều cách giải và tôi ñã giới thiệu trong chuyên ñề bất ñẳng thức. Nhân ñây tôi
giới thiệu
5
cách giải ñộc ñáo .
Cách 1 :
2
2
2 2
1 3 1 3
2 2 2 2
N x x
= + + + − +
2 2
2 2
1 3 1 3
( ) 0 ( 0
2 2 2 2
N x x
= − − + − − + − + −
Trên mặt phẳng toạ ñộ
Oxy
xét các ñiểm
( )
1 3 1 3
, , , , ,0
2 2 2 2
A B C x
−
−
Dựa vào hình vẽ ta có
N AC CB AB
= + ≥
2
1
AC x x
= + +
,
2
1
BC x x
= − +
Mà
2
2
1 1 3 3
2 2
2 2 2 2
AB AB
= + + + = ⇒ =
Dấu
" "
=
xảy ra khi
, ,
A B C
thẳng hàng , hay
0
x
=
, nghĩa là
C O
≡
Vậy
min 2
N
=
khi
0
x
=
Cách 2: Dùng bất ñẳng thức vectơ :
a b a b N a b
+ ≥ + ⇒ ≥ +
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh
–
ð
à
L
ạt
81
Chọn :
2 2
1 3 1 3
; 1, ; 1
2 2 2 2
a x a x x b x b x x
= − + ⇒ = − + = + ⇒ = + +
(
)
2
2
(1; 3) 1 3 2 2
a b a b N
+ = ⇒ + = + = ⇒ ≥
Dấu
" "
=
xảy ra khi
0
a b x
= ⇔ =
Vậy
min 2
N
=
khi
0
x
=
Cách 3:
Do
2 2
1 1,
N x x x x x
= + + + − + ∈
ℝ
, do ñó gợi ta nghĩ ñến bất ñẳng thức trung bình cộng, trung
bình nhân .
Ta có :
(
)
(
)
4
2 2 4 2
4
2 1 1 2 1 2,N x x x x x x x
≥ − + + + = + + ≥ ∈
ℝ
Dấu
" "
=
xảy ra khi
2 2
4 2
1 1
0
1 1
x x x x
x
x x
+ + = − +
⇔ =
+ + =
Vậy
min 2
N
=
khi
0
x
=
Cách 4:
Vì
( )
2
2 2 4 2
2
1 0,
0, 2 1 2 1
1 0,
x x x
N x N x x x
x x x
− + ≥ ∀ ∈
⇒ ≥ ∀ ∈ ⇒ = + + + +
+ + ≥ ∀ ∈
ℝ
ℝ
ℝ
Do
2
4 2
1 1
1 1
x
x x
+ ≥
+ + ≥
. ðẳng thức ñồng thời xảy ra khi
0
x
=
, nên
2
4 2
N N
≥ ⇒ ≥
Vậy
min 2
N
=
khi
0
x
=
Cách 5:
Dễ thấy
(
)
2 2
1 1,N f x x x x x x
= = + + + − + ∈
ℝ
là hàm số chẵn
x
∈
ℝ
.
Với
1 2
0
x x
∀ > >
, ta có
(
)
(
)
1 2
0, 0
f x f x
> >
nên dấu của
(
)
(
)
1 2
f x f x
−
cũng là dấu của
(
)
(
)
2 2
1 2
f x f x
−
( ) ( )
(
)
(
)
2 2 2 2 4 2 4 2
1 2 1 2 1 1 2 2
2 2 1 1 .
f x f x x x x x x x− == − + + + − + +
Vì
2 2
1 2
1 2
4 2 4 2
1 1 2 2
0
0
1 1
x x
x x
x x x x
> >
> > ⇒
+ + ≥ + +
nên
(
)
(
)
2 2
1 2 1 2
0, 0
f x f x x x
− > ∀ > >
Suy ra
(
)
(
)
1 2 1 2
0, 0
f x f x x x
− > ∀ > >
Với
0
x
>
thì hàm số
(
)
f x
luôn ñồng biến và
0
x
<
thì hàm số
(
)
f x
luôn nghịch biến và
(
)
0 2
f
=
Vậy
(
)
f x
ñạt ñược giá trị cực tiểu tại
0
x
=
. Do ñó
min 2
N
=
khi
0
x
=
.
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh
–
ð
à
L
ạt
82
Ví dụ 6:
Giải :
Ví dụ 7:
Giải :
2
2 2 2
3 6 10 4 4
3 3 7
2 2 2 2 ( 1) 1
x x
A
x x x x x
+ +
= = + = + ≤
+ + + + + +
Dấu
" "
=
xảy ra khi
2
( 1) 0 1
x x
+ = ⇔ = −
Vậy
max 7
A
=
khi
1
x
= −
2
, 0
( 2000)
x
M x
x
= >
+
Vì
0
x
>
nên
0
M
>
.Do ñó
1
max min
M
M
→ ⇔ →
2 2 2 2
2
1 1 2 .2000 2000 2.2000 2000 4.2000
( 2000) .
x x x x x
x
M x x x
+ + − + +
= + = =
2
1 ( 2000)
8000 8000
x
M x
−
= + ≥
Tìm GTLNcủa biểu thức
2
2
3 6 10
2 2
x x
A
x x
+ +
=
+ +
2
, 0
( 2000)
x
M x
x
= >
+
Tìm GTLN và NN của biểu thức
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh
–
ð
à
L
ạt
83
Dấu
" "
=
xảy ra khi
2000
x
=
1 1
min 8000 max
8000
M
M
= → =
Vậy
1
max
8000
M =
khi
2000
x
=
Ví dụ 8:
Giải :
( ) ( ) ( )
2
2
2
2 10 3
, 3 2 5 3 0, *
3 2 1
x x
A x A x A x A x
x x
+ +
= ∀ ∈ ⇔ − + − + − = ∀ ∈
+ +
ℝ ℝ
•
2
3 2 0 ,
3
A A x
− = ⇔ = ∀ ∈
ℝ
•
2
3 2 0 ,
3
A A x
− ≠ ⇔ ≠ ∀ ∈
ℝ
phương trình
(
)
*
là phương trình bậc
2
ñối với
x
. Do ñó phương
trình
(
)
*
có nghiệm nếu
( ) ( )( )
2
5
5 4 3 2 3 0 7
2
A A A A
∆ = − − − − ≥ ⇔ ≤ ≤
Vậy
5
max 7, min
2
A A
= =
2 2
2 2
12 8 3
,
(2 1)
x x
B x
x
+ +
= ∈
+
ℝ
ðặt
tan 2,
2 2
u x x
π π
−
= < <
4 2 4 2 2 4 2
2 2 2 2 2
3 tan 4 tan 3 3cos 4 sin cos 3 sin sin 2
( ) 3
2
(1 tan ) (sin cos )
u u u u u u u
A g u
u u u
+ + + +
= = = = −
+ +
Vì
2
5 5
5
min ( ) min
0 sin 2 1 ( ) 3
2 2
2
max ( ) 3 max 3
g u B
u g u
g u B
= =
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇒ ⇒
= =
Ví dụ 9:
Giải :
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức :
2
2
2 10 3
,
3 2 1
x x
A x
x x
+ +
= ∈
+ +
ℝ
2 2
2 2
12 8 3
,
(2 1)
x x
B x
x
+ +
= ∈
+
ℝ
Cho
2 2 2
1
x y z
+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
T xy yz zx
= + +
.
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh
–
ð
à
L
ạt
84
Ta có
2 2 2 2
( ) 0 2( ) 0
x y z x y z xy yz zx
+ + ≥ ⇒ + + + + + ≥
hay
1
1 2 0
2
T T
+ ≥ ⇔ ≥ −
Dấu
" "
=
xảy ra chẳng hạn khi
1 1
0; ;
2 2
x y z= = = −
Vậy
1
min
2
T
= −
chẳng hạn khi
1 1
0; ;
2 2
x y z= = = −
Mặt khác
2
2 2 2 2
2
( ) 0
( ) 0 2( ) 2( )
( ) 0
x y
y z x y z xy yz zx
z x
− ≥
− ≥ ⇒ + + ≥ + +
− ≥
hay
2 2 1
T T
≥ ⇔ ≤
Dấu
" "
=
xảy ra khi
3
3
x y z= = = ±
Vậy
max 1
T
=
khi
3
3
x y z= = = ±
Ví dụ 10:
Giải :
Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân.
2
1 1
(1 )(1 )
xy
x y
x y
x y
+ ≥
+ +
+ +
1 1 1
2
1 1 (1 )(1 )
x y x y
+ ≥
+ + + +
Cộng vế theo vế , ta ñược:
(
)
2
2 1 1
2 1 (1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1
(1 )(1 ) (1 )(1 )
xy xy
xy x y x y xy
x y x y
+ +
≥ ⇔ ≤ ⇔ + ≤ + + ⇔ + + ≥ +
+ + + +
Dấu
" "
=
xảy ra khi
0
x y
= >
Ví dụ 11:
Giải :
Chứng minh rằng với mọi
0, 0
x y
> >
, ta luôn có
(
)
2
(1 )(1 ) 1
x y xy
+ + ≥ +
.
Cho
4
a
≥
, chứng minh rằng :
1 17
4
a
a
+ ≥
.
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh
–
ð
à
L
ạt
85
Ta có :
1 1 15
16 16
a a
a
a a
+ = + +
Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho hai số dương
16
a
và
1
a
.
1 1 1 1
2 . 2
16 16 16 2
a a
a a
+ ≥ = =
Mà
15 15 15
4 .4
16 16 4
a
a ≥ ⇒ ≥ =
Vậy :
1 1 15 17
16 16 4
a a
a
a a
+ = + + ≥
Dấu
" "
=
xảy ra khi
4
a
=
.
Ví dụ 12:
Giải :
ðặt
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1A
a b c a b c a b b c a c a b c
= + + + = + + + + + + +
Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho hai số dương, ta ñược:
3
2 2 2 3 3 3
3 3 1 1
1 1A
abc abc
a b c a b c
≥ + + + = +
Và
3
1 1
8 8
3 8
+ +
≤ = ⇒ ≤ ⇒ ≥
a b c
abc abc
abc
Vậy :
3
1 729
1
8 512
A
≥ + =
. Dấu
" "
=
xảy ra khi
2
a b c
= = =
.
Cho
0
x y
> ≥
. Chứng minh rằng :
2
4
3
( )( 1)
x
x y y
+ ≥
− +
Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân cho bốn số dương
2
8
2 2 , 1, 1,
( )( 1)
x y y y
x y y
− + +
− +
2
4
2 2
8 8
2 2 2( 1) 4 2( )( 1)
( )( 1) ( )( 1)
x y y x y y
x y y x y y
⇒ − + + + ≥ − +
− + − +
2 2
4 4
1 4 3
( )( 1) ( )( 1)
x x
x y y x y y
⇔ + + ≥ ⇔ + ≥
− + − +
Cho
, , 0
a b c
>
thoả mãn
6
a b c
+ + =
. Chứng minh rằng :
3 3 3
1 1 1 729
1 1
512
a
a b c
+ + + ≥
.
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh
–
ð
à
L
ạt
86
Dấu
" "
=
xảy ra khi
2
8
2 2 2( 1) 2; 1
( )( 1)
x y y x y
x y y
− = + = ⇔ = =
− +
Ví dụ 13:
Giải :
ðiều kiện :
2008
x
≥
.
ðặt
2
2
2007 0 2 2009
2008
2008 0
a x x a
x b
b x
= − ≥ + = +
⇒
= +
= − ≥
, ta có :
2 2
1 1
2009 2008
2009 2008
a b
A
a b
a b
a b
= + = +
+ +
+ +
Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân
2009 2008
2 2009, 2 2008
a b
a b
+ ≥ + ≥
Do ñó
1 1
2 2009 2 2008
A ≤ +
Dấu
" "
=
xảy ra khi
2 2
2 2
2009
2009 2007
4006
2008
2008 2008
a
a x a
a
x
b x b
b
b
=
= = +
⇔ ⇒ ⇒ =
= = +
=
Vậy
1 1
max
2 2009 2 2008
A = + khi
4006
x
=
Ví dụ 14:
Giải :
Với
, 0
x y
>
ta luôn có
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 1
2 2 2 2
A
x y xy x y xy xy x y xy xy
= + = + + ≥ +
+ + + +
hay
( )
2
4 1
A
xy
x y
≥ +
+
Mặt khác
(
)
2
1
2
4 4
x y
x y xy xy
+
+ ≥ ⇒ ≤ =
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2007 2008
2
x x
A
x x
− −
= +
+
.
Cho
, 0
x y
>
thoả mãn
1
x y
+ =
. Tìm GTNN của biểu thức
2 2
1 1
A
x y xy
= +
+
.
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh
–
ð
à
L
ạt
87
Do ñó
1
4 6
1
2.
4
A
≥ + =
Vậy
min 6
A
=
khi
1
2
x y
= =
Ví dụ 15:
Giải :
Áp dụng bất ñẳng thức trung bình cộng , trung bình nhân
2 , 2 , 2
x y xy y z yz z x zx
+ ≥ + ≥ + ≥
( )( )( ) ( )
2
8 8
x y y z z x xyz xyz
⇒ + + + ≥ =
1
( )( )( ) 8 8
xyz xyz
M
x y y z z x xyz
⇒ = ≤ =
+ + +
Vậy
1
max
8
M
=
khi
0
x y z
= = >
Ví dụ 16:
Giải :
2 3 4
c a b
A
c a b
− − −
= + +
( 2).2 1 1 ( 2) 2 2 1
2 ( 2).2
2 2
2 2 2 2 2 2
c c c c
c c
c
− − + −
− = = − ≤ = ⇒ ≤
Dấu
" "
=
xảy ra khi
2 2 4
c c
− = ⇔ =
.
Tương tự :
3 1
2 3
a
a
−
≤
.Dấu
" "
=
xảy ra khi
6
a
=
.
4 1 1
4
2 4
b
b
−
≤ =
. Dấu
" "
=
xảy ra khi
8
b
=
.
Cho
, , 0
x y z
>
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( )( )( )
xyz
M
x y y z z x
=
+ + +
.
Tìm GTLN của biểu thức
2 3 4
, 3, 4, 2
ab c bc a ca b
A a b c
abc
− + − + −
= ≥ ≥ ≥
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh
–
ð
à
L
ạt
88
Vậy
1 1 1
min
4
2 2 2 3
A
= + +
khi
6, 8, 4
a b c
= = =
.
Ví dụ 17:
Giải :
1 1 1 9
, , 0x y z
x y z x y z
> ⇒ + + ≥
+ +
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 ( )
1 1 1 1 1 1 1 1 1
x y z x y z
Q
x y z x y z x y z
+ − + − + −
= + + = + + = − + +
+ + + + + + + + +
9 9 3
3 3
1 1 1 4 4
Q
x y z
≤ − = − =
+ + + + +
Dấu
" "
=
xảy ra khi
1
3
x y z
= = =
Vậy
3
max
4
Q
=
khi
1
3
x y z
= = =
Ví dụ 18:
Giải :
( )
3 1
) , 0;2
3
x
a f x x
x
−
= ∈
−
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn
0;2
.
Ta có
( )
( )
2
8
' 0, 0;2
3
f x x
x
−
= < ∀ ∈
−
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:
( )
3 1
)
3
x
a f x
x
−
=
−
trên ñoạn
0;2
(
)
4 2
) 2 3
b f x x x
= − +
trên ñoạn
3;2
−
( )
(
)
3
6 2
) 4 1
c f x x x
= + −
trên ñoạn
1;1
−
( )
2
2
3 10 20
)
2 3
x x
d f x
x x
+ +
=
+ +
Cho
, , 0
x y z
>
thoả ñiều kiện
1
x y z
+ + =
. Tìm GTLN của biểu thức
1 1 1
x y z
Q
x y z
= + +
+ + +
Nguyễn Phú Khánh -ðà Lạt Các vấn ñề liên quan Hàm số lớp 12
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Nguy
ễ
n Ph
ú
Kh
ánh
–
ð
à
L
ạt
89
Bảng biến thiên
x
0
2
(
)
'
f x
−
(
)
f x
1
3
5
−
Từ bảng biến thiên suy ra :
( ) ( )
0;2 0;2
1
max 0 min 5 2
3
f x khi x f x khi x
= = = − =
(
)
4 2
) 2 3, 3;2
b f x x x x
= − + ∈ −
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn
3;2
−
.
Ta có
( ) ( )
(
)
( )
( )
3
1, 1 2
' 4 4 ' 0 0, 0 3
1, 1 2
x f
f x x x f x x f
x f
= − − =
= − ⇒ = ⇔ = =
= − =
(
)
(
)
3 66, 2 11
f f
− = =
Bảng biến thiên
x
3
−
1
−
0
1
2
(
)
'
f x
−
0
+
0
−
0
+
(
)
f x
66
3
11
2
2
Từ bảng biến thiên suy ra :
(
)
(
)
3;2 3;2
max 66 3 min 2 1, 1
f x khi x f x khi x x
− −
= = − = = − =
( )
(
)
3
6 2
) 4 1 , 1;1
c f x x x x
= + − ∈ −
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn
1;1
−
.
ðặt
2
, 1;1 0;1
t x x t
= ∈ − ⇒ ∈
Hàm số ñã cho viết lại
( ) ( )
3
3
4 1 , 0;1
f t t t t
= + − ∈
và
( ) ( )
(
)
2
2 2
' 3 12 1 3 3 8 4
f t t t t t
= − − = − + −
( )
2 2 4
,
' 0
3 3 9
2
t f
f t
t
= =
= ⇔
=
(
)
(
)
0 4, 1 1
f f
= =
Bảng biến thiên
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét