156 Chương 3. Một số ứng dụng của số phức trong đại số
hợp z = α và z =
1
α
, |α| < 1. Do đó
−
b
a
= α, −
d
c
=
1
α
, |α| < 1,
và
w =
a
c
z − α
z −
1
α
=
a
α
c
·
z − α
αz − 1
= −
a
α
c
z − α
1 − αz
·
Vì các điểm của đường tròn đơn vị phải biến thành các điểm của đường tròn
đơn vị nên |w| =1khi |z| =1.Vìz ·
z = |z|
2
nên zz =1khi |z| =1. Vì số
1 −
αz và 1 − αz liên hợp với nhau và |1 −αz| = |1 −αz| nên nếu |z| =1thì
|1 −
αz| = |1 −αz|·|z| = |z − αzz| = |z −α|.
Do đó khi |z| =1thì ta có:
z − α
1 − αz
=1.
Nhưng khi đó |w| =1cho nên
aα
c
=1và
aα
c
= e
iλ
, λ ∈ R. Như vậy ta thu
được (3.52).
Ta cần chứng minh rằng đó là đẳng cấu muốn tìm. Thật vậy nếu z = e
iθ
và
α = r
1
e
iβ
thì
|w| =
e
iθ
− r
1
e
iβ
1 − r
1
e
−iβ
· e
iθ
=
1 − r
1
e
iβ
e
−iθ
1 − r
1
e
−iβ
e
iθ
=1.
Nếu z = re
iθ
(r<1) thì
|z −a|
2
−|1 − αz|
2
= r
2
− 2rr
1
cos(θ − β)+r
2
1
− (r
2
1
r
2
− 2r
1
r cos(θ − β)+1)
=(r
2
− 1)(1 − r
2
1
) < 0
và do đó |z − α|
2
−|1 − αz|
2
< 0 và |w| < 1.
3.3. Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính
157
Nhận xét 3.4. Vì
dw
dz
z=α
= e
iλ
1
1 −|α|
2
, |α| < 1,
cho nên về mặt hình học λ bằng góc quay của ánh xạ (3.52) tại điểm α:
λ =
arg
dw
dz
z=α
.
Từ công thức (3.52) ta còn rút ra hệ thức
dw
dz
z=α
=
1
1 −|α|
2
và do đó độ giãn dần đến ∞ khi điểm α dần đến biên của hình tròn đơn vị.
Nhận xét 3.5. Phép đẳng cấu biến hình tròn {|z| <R} lên hình tròn
{|w| <R
} có dạng
w = RR
e
iλ
z − α
αz − R
2
, |α| <R,λ∈ R.
Ví dụ 3.52. Giả sử U
1
= {|z| < 1}, U
2
= {|z − 1| < 1} và D = U
1
∩ U
2
. Tìm
đẳng cấu biến miền D lên nửa mặt phẳng trên.
Lời giải. Giao điểm của các cung tròn giới hạn miền D là các điểm sau:
a =
1
2
+ i
√
3
2
,a
∗
=
1
2
− i
√
3
2
·
Giả sử cung tròn đi qua điểm z =1được kí hiệu là δ
1
và cung tròn đi qua
điểm z =0là δ
2
. Ta áp dụng các ánh xạ trung gian sau
1. Ánh xạ
z
1
=
z −
1
2
− i
√
3
2
z −
1
2
+ i
√
3
2
,
158 Chương 3. Một số ứng dụng của số phức trong đại số
biến miền đã cho D thành một góc trong mặt phẳng z
1
với đỉnh là z
1
=0.Vì
góc giữa hai cung tròn δ
1
và δ
2
tại các điểm a cũng như a
∗
đều bằng
2π
3
nên
độ mở của góc vừa thu được bằng
2π
3
. Dễ dàng thấy rằng
z
1
(1) =
1 −
1
2
− i
√
3
2
1 −
1
2
+ i
√
3
2
= −
1
2
+ i
√
3
2
z
1
(0) = −
1
2
−i
√
3
2
và do đó góc - ảnh thu được có cạnh đi qua điểm z
1
(1) và z
1
(0). Ta kí hiệu
góc đó là D(z
1
).
2. Ánh xạ quay z
2
= e
−2πi
3
z
1
biến góc D(z
1
) thành góc có một cạnh trùng
với phần dương của trục thực, còn cạnh kia đi qua điểm −
1
2
+ i
√
3
2
·
3. Ánh xạ cần tìm có dạng w = z
3
2
2
góc có độ mở
2π
3
·
3
2
= π !
.
Hợp nhất 1) - 3) ta thu được
w = −
2z − 1+i
√
3
2z − 1 − i
√
3
3
2
và hiển nhiên đó chỉ là một trong các hàm thực hiện ánh xạ phải tìm.
Ví dụ 3.53. Ánh xạ miền D là góc {0 < arg z<πβ,0 <β<2} với nhát
cắt theo một cung của đường tròn đơn vị từ điểm z =1đến điểm z = e
iαπ
,
0 <α<β(hãy vẽ hình).
Lời giải. Ta sử dụng các ánh xạ trung gian sau đây
1. Ánh xạ z
1
= z
1
β
biến góc đã cho thành góc D(z
1
) có độ mở bằng π với
nhát cắt thuộc đường tròn đơn vị đi từ điểm z =1đến điểm z = e
i
α
β
π
.
2. Ánh xạ phân tuyến tính
z
2
=
z
1
− 1
z
1
+1
3.3. Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính
159
biến miền D(z
1
) thành nửa mặt phẳng trên với nhát cắt theo trục ảo từ gốc
tọa độ đến điểm i tan
α
2β
π. Ta kí hiệu miền ảnh đó là D(z
2
).
3. Ánh xạ z
3
= z
2
2
biến miền D(z
2
) thành mặt phẳng với nhát cắt theo
−tan
2
α
2β
π; ∞
⊂ R. Ta kí hiệu miền thu được là D(z
3
).
Hiển nhiên hàm cần tìm có dạng
w =
z
3
+ tan
2
α
2β
π =
z
1
β
− 1
z
1
β
+1
2
+ tan
2
α
2β
π.
Để kết thúc phần này, ta chứng minh rằng ánh xạ phân tuyến tính (3.48)
w =
az + b
cz + d
, ad − bc =0biến nửa mặt phẳng trên lên chính nó khi và chỉ
khi mọi hệ số a, b, c, d đều là những số thực thỏa mãn điều kiện ad − bc > 0.
Giả sử ánh xạ (3.48) biến nửa mặt phẳng trên lên chính nó. Ta xét ba điểm
khác nhau z
1
,z
2
và z
3
của trục thực trong mặt phẳng z. ảnh của ba điểm này
là những điểm biên của nửa mặt phẳng Im w>0, tức là các số w
k
= w(z
k
),
k =1, 2, 3 là những số thực. Từ đó, ta thu được hệ phương trình với các hệ số
thực để xác định a, b, c, d. Do đó với sự chính xác đến một thừa số nào đó từ
hệ phương trình tuyến tính vừa thu được dễ dàng suy ra rằng các hệ số của
(3.48) đều là thực. Vì w = u + iv, z = x + iy nên khi y>0 ta có v>0. Thay
w = u + iv, z = x + iy vào (3.48) ta có
v =
y(ad − bc)
(cx + d)
2
+(cy
2
)
·
Từ đó suy ra ad − bc > 0.
Ngược lại, nếu các hệ số a, b, c và d đều thực thì trục thực của mặt phẳng (z)
được ánh xạ lên trục thực của mặt phẳng (w) và vì ad −bc > 0 nên nửa mặt
phẳng trên được ánh xạ lên nửa mặt phẳng trên.
160 Chương 3. Một số ứng dụng của số phức trong đại số
3.3.3 Phương trình hàm sinh bởi hàm phân tuyến tính
Bài toán tổng quát 3.1. Xác định các hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện sau
f
αx + β
x + γ
= af(x)+b, ∀x ∈ R \{−γ}, (3.53)
trong đó α,β,γ; a, b là các hằng số thực, a =0,αγ−β =0.
Ta khảo sát bài toán tổng quát (3.53) trong ba trường hợp đặc trưng điển hình
sau đây:
(i) Phương trình ω(x)=x có hai nghiệm thực phân biệt.
(ii) Phương trình ω(x)=x có 1 nghiệm kép (thực).
(iii) Phương trình ω(x)=x không có nghiệm thực.
Nhận xét rằng, phương trình trong trường hợp (iii) tương đương với phương
trình ω( x)=x có hai nghiệm (phức) là các số liên hợp phức của nhau.
Ta chuyển bài toán tổng quát 3.1 về bài toán tổng quát sinh bởi hàm bậc nhất
quen biết mà cách giải đã biết
Bài toán tổng quát 3.2. Xác định các hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện sau
f(αx + β)) = af(x)+b, ∀x ∈ R, (3.54)
trong đó α, β, a, b là các hằng số thực, a =0,α=0.
hoặc về dạng bài toán tổng quát sinh bởi phép đối hợp bậc n dạng sau đây.
Bài toán tổng quát 3.3. Xác định các hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện sau
f
αx + β
x + γ
= af(x)+b, ∀x ∈ R \{−γ}, (3.55)
trong đó α, β, γ, a, b là các hằng số thực, a =0,αγ−β =0, và
ω
n
(x) ≡ x, ω
k+1
:= ω(ω
k
(x)),ω
0
(x):=x.
3.3. Phương trình hàm với biến đổi phân tuyến tính
161
Tiếp theo, ta minh họa cách giải ứng với các trường hợp thông qua các bài
toán cụ thể sau đây.
Từ kết quả khảo sát của phần trước, ta chỉ cần xét các phương trình hàm sinh
bởi ω(x) có dạng
ω(x)=
m
x + γ
,m=0·
Ví dụ 3.54. Xác định các hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện sau
f
1
2 − x
=2f(x) − 1, ∀x ∈ R \{2}. (3.56)
Lời giải. Nhận xét rằng phương trình
1
2 − x
= x
có hai nghiệm thực x =1và x =2. Sử dụng phép đổi biến
x −1
x −2
= t,
ta thu được
x =2+
3
t − 1
,
1
2 − x
=2+
3
1
2
t −1
·
Vậy (3.56) có dạng
f
2+
3
1
2
t − 1
=2f
2+
3
t −1
− 1, ∀t ∈ R \{2; 1},
hay
g
1
2
t
=2g(t) −1, ∀t ∈ R \{2; 1}, (3.57)
trong đó
g(t)=f
2+
3
t − 1
.
Ví dụ 3.55. Xác định các hàm số f thỏa mãn điều kiện sau
f
2
3 − x
=3f(x)+2, ∀x ∈ R \{3}. (3.58)
162 Chương 3. Một số ứng dụng của số phức trong đại số
Lời giải. Phương trình
2
3 − x
= x
có một nghiệm (thực) kép x =1. Sử dụng phép đổi biến
1
x −1
= t,
ta thu được
x =1+
1
t
,
2
3 − x
=1+
1
t − 1
·
Vậy (3.58) có dạng
f
1+
1
t − 1
=3f
1+
1
t
+2, ∀t ∈ R \{0; 1},
hay
g(t − 1)=3g(t)+2, ∀t ∈ R \{2; 1},
trong đó
g(t)=f
1+
1
t
.
Ví dụ 3.56. Xác định các hàm số f thỏa mãn điều kiện sau
f
2
2 − x
=2f(x)+5, ∀x ∈ R \{2}. (3.59)
Lời giải. Đây là trường hợp phương trình hàm với nghiệm đặc trưng của
phương trình sinh ω(x)=x không có nghiệm thực. Phương trình sinh
2
2 − x
=
x, có nghiệm z
1,2
=1±i. Sử dụng phép đổi biến x − 1=t, ta thu được
x =1+t,
2
2 − x
=1+
1+t
1 − t
và viết phương trình (3.59) dưới dạng
f
1+
1+t
1 − t
=2f(1 + t)+5, ∀t ∈ R \{1}.
hay
g
1+t
1 − t
=2g(t)+5, ∀x ∈ R \{1}, (3.60)
3.4. Bài tập
163
trong đó
g(t)=f(1 + t). (3.61)
Xét phương trình hàm (3.60) ứng với trường hợp ω(t)=
1+t
1 − t
và phương trình
sinh tương ứng ω(t)=t có hai nghiệm thuần ảo ±i. Ta viết
ω(t)=
1+t
1 − t
=
1+t tan
2
π
4
1 − t tan
2
π
4
,
do đó ω(t) có tính tuần hoàn (đối hợp) bậc bốn, nghĩa là
ω(ω(ω(ω(t)))) ≡ t.
Vì vậy, phương trình hàm (3.60)-(3.61) đưa về hệ phương trình tuyến tính và
có nghiệm duy nhất g(t) ≡−5 ⇒ f(x)=−5, ∀x ∈ R \{2}.
3.4 Bài tập
Bài 3.1. Xác định c (c ∈ C) sao cho phương trình
1+ix
1 − ix
2002
= c
có các nghiệm đều thực.
Bài 3.2. Cho đa thức P (x) ≡ const. Chứng minh rằng hệ phương trình sau
chỉ có không quá hữu hạn số nghiệm thực
x
0
P (t) sin tdt =0
x
0
P (t) cos tdt =0.
Bài 3.3. Cho số nguyên dương n và các số a
k
,b
k
∈ R. Chứng minh rằng
phương trình
x +
n
k=1
(a
k
sin kx + b
k
cos kx)=0
có nghiệm trong khoảng (−π ; π).
164 Chương 3. Một số ứng dụng của số phức trong đại số
Bài 3.4. Cho M>0 và cho tam thức bậc hai
f(x)=x
2
+ bx + c
có các hệ số nằm trong [−M ; M]. Gọi x
1
,x
2
là hai nghiệm thực hoặc phức
của f(x). Chứng minh rằng
(1 + |x
1
|)(1 + |x
2
|) ≤ 4
√
3M.
Bài 3.5. Cho tam thức bậc hai
f(x)=ax
2
+ bx + c
có các nghiệm đều thực và đa thức
P (x)=a
0
+ a
1
x + ···+ a
n
x
n
∈ R[x]
có 3 nghiệm thực. Chứng minh rằng khi đó đa thức
Q(x)=aP (x)+bP
(x)+cP
(x)
cũng có ít nhất ba nghiệm thực.
Bài 3.6. Cho các số thực a, b, c, d, e, r thoả mãn điều kiện
abcder =0,ar+ be + cd =0.
Giải hệ phương trình (ẩn x,y,z,u,v):
xz − y
2
a
=
xu −yz
b
=
xv − yu
c
=
yu − z
2
d
=
xu − yv
e
=
zv −u
2
r
.
Bài 3.7. Cho số tự nhiên
p =
a
0
a
1
a
n
là một số nguyên tố. Chứng minh rằng đa thức tương ứng
P (x)=a
0
x
n
+ a
1
x
n−1
+ ···+ a
n
sẽ không có nghiệm hữutỉ.
3.4. Bài tập
165
Bài 3.8. Chứng minh rằng mọi nghiệm của phương trình
1+ix
1 − ix
n
=
1+ia
1 − ia
, 1 ≤ n ∈ N,a∈ R.
Bài 3.9. Giải phương trình
i −x
i + x
n
=
cot α + i
cot α − i
, 1 ≤ n ∈ N,α∈ R.
Bài 3.10. Giải các phương trình sau :
1. x
n
− nax
n−1
− C
2
n
a
2
x
n−2
−···−a
n
=0.
2. x
5
+ x
4
+ x
3
+ x
2
+ x +1=0.
3. x
5
+ αx
4
+ α
2
x
3
+ α
3
x
2
+ α
4
x + α
5
=0, 0 = α ∈ C.
Bài 3.11. Giải các hệ phương trình sau trong C :
1.
z
3
+ w
7
=0
z
5
w
11
=1;
2.
z
5
w
7
=1
z
2
− w
3
=0;
3.
z
3
+ w
5
=0
z
2
¯w
4
=1;
4.
z
13
w
19
=1
z
5
w
7
=1
z
2
+ w
2
= −2.
Bài 3.12. Giải hệ phương trình sau
x +
3x − y
x
2
+ y
2
=3
y −
x +3y
x
2
+ y
2
=0.
Bài 3.13. Giải hệ phương trình sau
√
x
1 −
12
3x + y
=2
√
y
1+
12
3x + y
=6.
Bài 3.14. Giải hệ phương trình sau
x
3
− 3xy
2
=1
3x
2
y − y
3
= −
√
3.
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét